Teoría de control: Aplicación a problemas industriales y biomédicos
En esta área se está desarrollando un lazo de control no lineal automático para diabéticos insulino-dependientes que incluye los sensores de glucosa y una bomba de insulina, con el fin de diseñar y construir un prototipo de páncreas artificial. La diabetes tipo 1 es una enfermedad de carácter autoinmune que aparece en edades tempranas de la vida y que se caracteriza por la destrucción de las células productoras de insulina. El único tratamiento posible consiste en la administración de insulina exógena de por vida. Las complicaciones más importantes de la diabetes son la insuficiencia renal, la ceguera y la necrosis de miembros, que conducen inevitablemente a la diálisis y amputaciones. Se estima que en la Argentina hay aproximadamente 4.000.000 de diabéticos de los cuales 400.000 son de tipo 1.
En los últimos años se ha introducido como herramienta eficaz en el tratamiento de la diabetes tipo 1 el uso de bombas de insulina que permiten un control más preciso de los niveles de glucemia. Un inconveniente no menor de estos sistemas es que todos los ofrecidos en el mercado requieren de la intervención del paciente que debe “indicar” (programar) al sistema de acuerdo a su ingesta de alimentos, actividad física, etc.
Hemos desarrollado un algoritmo de control que basado en el modelo mínimo de Bergman optimiza notablemente el control de la glucemia con el uso de bombas de infusión de insulina, independizando al sistema de la participación del operador, ya que nuestro modelo funciona controlando la tasa de infusión de insulina por la bomba, directamente a partir de la lectura del sensor sin que sea necesario que un operador humano programe el actuador.
Actualmente estamos refinando el modelo y estamos diseñando y construyendo una bomba de insulina totalmente nacional que pretendemos que a futuro compita comercialmente con las bombas existentes en el mercado que son en su totalidad importadas. Nuestra intención es pasar en un plazo adecuado al ensayo de esta bomba en animales de porte mediano como ovejas y cerdos para poder iniciar la fase de ensayos clínicos en humanos.

Técnicas no‐invasivas para el estudio de materiales compuestos altamente heterogéneos
Los materiales multicapa son de gran interés en la ingeniería y en la industria por la posibilidad de combinar materiales diferentes con el fin de obtener las características deseadas. Hay una gran diversidad de aplicaciones que va desde la industria alimenticia, para empaquetar los alimentos logrando mantener la frescura y la calidad en los alimentos, hasta la aeronáutica, para el revestimiento de diferentes zonas de un avión.
Uno de los puntos de interés es la caracterización y análisis de las propiedades electromagnéticas de las diferentes capas de un material compuesto. Para su análisis se consideran técnicas de optimización adaptativa, tanto para estimar los parámetros dieléctricos de cada capa como la profundidad de las mismas. Este proceso de optimización se basa el análisis del comportamiento del material cuando sea interrogado por ondas electromagnéticas. Los datos sobre la transmisión, absorción y reflectancia de las ondas de interrogación deben ayudar a identificar los parámetros desconocidos.
Bajo ciertas suposiciones, la adquisición de datos de transmisión puede ser modelada por la transformada de Radon. Este operador proporciona el marco matemático en numerosos problemas inversos donde es posible determinar ciertas propiedades estructurales de un objeto a partir de datos obtenidos por métodos que no dañan el objeto. Se propone utilizar técnicas basadas en la transformada de Radon para analizar la profundidad y la forma de las capas a partir de los datos de transmisión. Esta información complementará y completará los resultados obtenidos utilizando otros métodos que hemos propuesto en base a los datos de reflectancia.
Otro punto de interés es la cuantificación de la rugosidad de la superficie externa de un material compuesto mediante técnicas no destructivas como las aquí descriptas.

Identificación de sistemas: Filtros de Kalman, Estimación Bayesiana y Filtro de partículas
En esta área hemos trabajado en el análisis y aplicación de procedimientos iterativos que permiten el tratamiento on-line de señales adquiridas por muestreo regular de sistemas dinámicos. Con respecto a la estimación del estado del sistema, partiendo del filtrado óptimo de Kalman para sistemas lineales con ruidos aditivos gaussianos e independientes existen diferentes variantes para aquellos casos que no cumplan una o más de las mencionadas hipótesis de comportamiento, como ser Kalman-extendido, Kalman-unscented y otros procedimientos que -mediante un esquema de estimación bayesiana- como el método de grilla y el filtro de partículas, permiten abordar diferentes problemas de identificación de parámetros. En este contexto hemos propuesto distintas variantes en la aplicación de estas herramientas, incluyendo su combinación con el uso de especiales wavelets (diseñadas en elespacio de Schwartz) y sus generalizaciones, según distintos esquemas de representación y su aplicación a señales reales.
En particular, contando con cierta experiencia en el análisis de señales reales de electroencefalogramas de electrodos profundos de enfermos epilépticos candidatos a cirugía,seguimos trabajando en el tema incorporando cuestiones teóricas y de índole práctica para introducirnos a la detección/caracterización de patrones oscilantes en períodos previos a las crisis, con objetivo de disponer de mecanismos adicionales que colaboren a la predicción de las crisis epilépticas; problema aún no resuelto.

Análisis de series temporales de procesos estocásticos no estacionarios y no lineales
En esta área se aborda el procesamiento de series temporales de procesos estocásticos no estacionarios y no lineales que afectan el hábitat humano regional tales como el cambio climático del Hemisferio Sur y la detección de daño en rocas provenientes de regiones proclives a sismos y/o erupciones volcánicas de la Cordillera de los Andes.
• Los cambios ocurridos en el clima en latitudes medias del Hemisferio Sur y la Antártida se estudian con el análisis de las series temporales asociadas a la evolución de parámetros físicos (presión atmosférica, temperatura, velocidad del viento, etc.) e índices oceánicos y atmosféricos, que describen regímenes del sistema climático y determinan los diferentes acoplamientos de regulación de la climatología austral.
• La detección temprana de fuentes de daño en estructuras edilicias en zonas proclives a terremotos y en macizos rocosos ubicados en fallas geológicas o volcanes activos sometidos a campos variables de tensiones se estudian mediante el análisis de señales de emisión acústica. Se analizan series temporales provenientes de ensayos en laboratorio con rocas provenientes de sitios de interés. Se busca aplicar la información a la detección de fallas in situ en la región cordillerana.
• Las series se analizan con Transformada Wavelet, Descomposición Empírica en Modos y Descomposición Empírica en Modos por Conjuntos para obtener un número pequeño de funciones de modo intrínsecas que admiten transformadas de Hilbert de buen comportamiento. Para determinar la evolución conjunta de las series se utiliza la Transformada Wavelet Cruzada y la Coherencia Wavelet con el fin de visualizar la correlación lineal local para cada frecuencia. Para detectar las relaciones entre series de procesos no lineales se utilizan análisis estadísticos tales como la Información Mutua.

Modelado de sistemas de adquisición de datos y reconstrucción de imágenes a partir de radiación ionizante
La transformada de Radon sobre rectas modela problemas convencionales de reconstrucción tomográfica donde el mapa de una propiedad de un objeto se reconstruye a partir de mediciones de la radiación periférica. En el caso de la CT (Tomografía computada) la propiedad del objeto es la atenuación, mientras que en SPECT (Tomografía computada por emisión de fotón único) es la densidad de emisores. Dicha radiación está compuesta tanto por fotones primarios, aquellos que no experimentaron cambios en su dirección ni su energía, como por fotones que experimentaron algún tipo de interacción, mayoritariamente de tipo Compton. Sin embargo, en los sistemas mencionados la radiación dispersa debe ser rechazada al momento de generar la señal a partir de la cual se realizará la reconstrucción. Este desperdicio de fotones obliga a utilizar dosis elevadas de radiación que son perjudiciales
para el paciente.                                                                                                                                                                                  Las técnicas de generación de imágenes a partir de radiación dispersa (CSI, Compton Scatter Imaging) son un enfoque superador que explota la correspondencia entre la energía de un fotón Compton y su ángulo de dispersión para posibilitar la reconstrucción de imágenes. Existen dos tipos de sistemas de CSI que dependen de si se utilizan fotones Compton dispersados dentro del objeto bajo estudio (Tomografía Compton) o dentro de un detector de dispersión (Cámara Comtpon). Estos problemas están modelados por transformadas de Radon sobre diferentes variedades en dos y tres dimensiones (líneas-V, conos, circunferencias, arcos de circunferencia, toros, etc). Las variedades dependen de la geometría de adquisición (forma de los detectores, posición de la fuente, etc.) y del tipo de problema considerado.
En el Centro de Matemática Aplicada (CEDEMA) de la Escuela de Ciencia y Tecnología, se trabaja en el diseño de nuevas modalidades de Tomografía y Cámara Comtpon, en el planteo de las transformadas integrales que las modelan y en la búsqueda de fórmulas inversas analíticas y exactas que garanticen la solución única del problema inverso. Para esto se utilizan técnicas como la retroproyección filtrada, el análisis en el dominio de Fourier, la descomposición en armónicos circulares y los armónicos esféricos. Conjuntamente se exploran técnicas de reconstrucción matriciales que, si bien no garantizan la existencia de una inversa única, son un complemento interesante de las inversas analíticas ya que ofrecen atractivas ventajas de implementación (algebraic reconstruction technique, descomposición en valores singulares, etc.). Adicionalmente se estudian problemas de muestreo aleatorio de la transformada de Radon sobre rectas con el fin de optimizar los algoritmos de reconstrucción discreta.

Problemas inversos y aplicaciones
a) Inversión de transformadas de tipo Radon y sus aplicaciones biomédicas
En el área de imágenes médicas (medical imaging), la estructura interna de un organismo se obtiene mediante un proceso de reconstrucción de la imagen a partir de datos medidos. En muchos casos de interés (CT, SPECT, CSI), el sistema de adquisición de datos está modelado por transformaciones integrales. La existencia de una reconstrucción analítica de la imagen depende de la propiedad de invertibilidad de la transformación integral considerada.
Por otra parte, factores físicos importantes, como la geometría del detector y las estadísticas de fotones, pueden ser más precisos cuando se incorporan a las técnicas de reconstrucción numérica, lo que produce un ruido de imagen más bajo y una resolución espacial más alta en comparación con los métodos analíticos. Por este motivo, además de los algoritmos de inversión basados en fórmulas analíticas, los equipos utilizan métodos numéricos para la reconstrucción de la fuente a partir de los datos adquiridos.
En el caso particular de la cámara Compton, la transformación integral que modela el sistema es una transformada de Radon generalizada, cuya inversa analítica fue establecida recientemente. En nuestro grupo, proponemos el desarrollo e implementación de algoritmos numéricos adecuados para reconstruir la fuente a partir de datos ruidosos para este sistema de imágenes que ha despertado el interés de la comunidad científica por sus ventajas respecto de sistemas tradicionales.

b) Estimación óptima y Regularización
Se tratan problemas inversos lineales y no lineales aplicados a diferentes ramas de la Ciencia y la Ingeniería, utilizando, en general, modelos de ecuaciones diferenciales de parámetros distribuidos. Se abordan problemáticas interdisciplinarias en las que es necesario conocer algunos parámetros del modelo matemático utilizado mediante datos observados. Se busca una estimación de parámetros óptima para lo cual es útil realizar un análisis de sensibilidad para determinar dónde es conveniente realizar las observaciones o mediciones de los datos.
Por lo general los problemas inversos resultan mal planteados, más precisamente suelen carecer de la condición de estabilidad; para resolver esto utilizamos distintos métodos de regularización que permiten que la solución numérica utilizada para la estimación sea convergente.
c) Problemas Inversos descriptos por operadores Integrales
Desde hace algunos años estamos interesados en el estudio de determinados problemas inversos tanto desde un punto de vista teórico como de su implementación. En esta área hemos resuelto algunos problemas inversos para distintos tipos de núcleos que incluyen el caso de deconvolución.
Actualmente estamos interesados en resolver ecuaciones asociadas a operadores integrales del cálculo fraccionario y ecuaciones de Fredholm de segunda especie. El cálculo fraccionario comprende operadores diferenciales e integrales de orden arbitrario, no necesariamente natural, generalmente representados por operadores integrales con núcleos con distinto nivel de suavidad y en muchos casos presentando singularidades. En desarrollos recientes, se ha demostrado la importancia y la utilidad de las ecuaciones diferenciales fraccionarias, que incluyen derivadas de Riemann-Liouville, Caputo y Caputo-Fabrizio, para modelar procesos físicos y biológicos entre otros.
En trabajos anteriores, hemos combinado técnicas de transformada wavelet, para una base con especiales propiedades, resolviendo ecuaciones diferenciales que contenían derivadas fraccionarias. En particular aquellas en las que interviene la derivada de Caputo o la nueva derivada de Caputo-Fabrizio. En últimos trabajos hemos construido una solución aproximada de un problema de valores iniciales en el cual se combinan derivadas de orden fraccionario y de orden natural. El esquema de aproximación desarrollado resulta simple y eficiente. Trabajos futuros: extender este enfoque para resolver problemas de valores de contorno para ecuaciones diferenciales parciales fraccionarias.